Département Mathématiques

Quelle est la distance à l'origine d'une marche au hasard dans un réseau plan après 10000 pas? Quelle est la hauteur d'un sommet dans un arbre plan à 10000 arêtes choisi uniformément au hasard ? Quelle est la probabilité qu'il existe un chemin sûr allant d'un bord à l'autre d'une grille du jeu « démineur » de côté 100 ?
Ces trois questions de probabilités ont en commun d'être des problèmes « discrets », dont la formulation ne fait intervenir que des variables aléatoires sur des espaces d'états finis. Mais lorsque la taille des systèmes devient grande, il est naturel de construire des modèles « continus » qui en sont des approximations asymptotiques, en effectuant une renormalisation appropriée pour que le système, bien que de grande taille, reste d'extension finie. Le plus célèbre de ces objets est le mouvement Brownien, limite d'échelle des marches aléatoires sur réseaux euclidiens réguliers.
Souvent, ces modèles continus ont des propriétés universelles, c'est-à-dire qu'elles ne dépendent pas des détails du modèle choisi pour les approcher. Ces propriétés impliquent à leur tour des résultats parfois insoupçonnés sur les modèles discrets.
Néanmoins, la définition des objets continus nécessite souvent un effort conceptuel : si l'on peut concevoir aisément que le mouvement Brownien est une fonction aléatoire, il est en revanche plus compliqué de définir ce que serait la limite d'échelle des arbres plans, ou du jeu de démineur. Nous essayerons de donner quelques exemples de constructions de limites d'échelle d'arbres, et de leurs applications à des problèmes d'informatique ou de physique théoriques.